★ [SilverSackの自画自賛] SilverSackの書斎から
「5. 信念と証拠に基づく判断 = ベイズ理論」は、以下の例から始まります。
ある地域の女性人口(母集団)の乳癌有病率が1%だとする。そしてある乳癌検査の感度(真陽性率)が90%、偽陽性率は9%だとする。ある女性が検査で陽性になった。この女性が乳癌である可能性はどれくらいだろうか？医師達の誤解は一旦横に置いておいて、この検査結果が意味するところは、
これらの数字を与えられた医師達の答えで最も多かったのは、80%から90%だった。だがベイズの法則に従って計算すると9%になり、これが正解である。
これを新型コロナウィルスのPCR検査に応用してみましょうか。中国なんかだと、感染者がいた地区の全員にPCR検査をしたとか、日本でもそうしたら良いという意見があったように思います。京都府(計算を簡単にするために人口252万5千人とします)で、新規感染者がピークを記録した第7波の時に全府民にPCR検査をしたとしてみましょう。ピーク時の感染者数は6,900人ほどでしたが、隠れ感染者もいるだろう、潜伏期間を考えて3倍ちょっとかと考えて感染者は25,000人としましょうか。有病率1%弱です。PCR検査については、感度70%、特異度99.9%だそうです(「万能とは言えないCOVID―19検査」より)。感染者で検査結果が陽性になる確率が70%、非感染者で検査結果が陰性になる確率が99.9%ということです。
計算するとこうなります。検査結果は、25,000人の感染者のうち、70%の17,500人が陽性、30%の7,500人が陰性になります。250万人の非感染者のうち0.1%の2,500人が陽性、残りの249万7500人が陰性です。7,500人の感染者が感染していないとされて普通の生活をし続ける訳ですから、封じ込め政策としては失敗でしょう。更に2,500人の人が罹ってもいないのに、2週間外出を禁止されると。これも市民は黙っちゃいないでしょうねぇ。日本で一斉検査をやらなかったことには一定の道理があったといえると思います。そんなマンパワーないからそもそもできなかったというのもあるでしょうが。
ピンカーさんが例で上げた乳癌検査は、陽性での罹患確率が9%だったので、「こりゃ、使えん」でしたが、PCR検査はどうでしょうか。陽性になるのが、17,500人 + 2,500人なので、20,000人。そのうち感染者が17,500人ですから、87.5%。先の乳癌検査とは大違いですね。なんとなく使えるレベルっぽいです。でも、乳癌検査の方が感度が90%とPCR検査より高いのになんで??
仮にPCR検査が感度(真陽性率)が90%、偽陽性率は9%だとして、先にやった計算をしてみましょうか。感度が90%なので、25,000人の感染者は、22,500人が陽性、2,500人が陰性となります。偽陽性率が9%なので、250万人の非感染者のうち22万5千人が陽性、残りの227万5千人が陰性となります。で、陽性だったのは、22,500人 + 225,000の247,500人。この内感染者が22,500人ですから、9.1%と。間違って感染と判定した数が多すぎます。偽陽性率に100倍の差があるのが大きいんですね。
私たちは検査の精度というと、感染者を如何に正確に検出するかということに注目しますが、非感染者を如何に検出しないかということも同様に大事なわけです。いや、場合によってはこちらの方が重要。この記事のサブタイトルを「反対から見ることの大切さ」のとしたのはそういうことです。
ここまで計算するとなんとなく、もしかしたら感染状況が変わると有効性が変わるような気がしません？ということで、オミクロンに置き換わる前の第5波のあたり、時期的には2021年8月のあたりだったらどうなるか見てみましょうか。この頃は1日の新規感染者数が600人前後だったので、陽性者は前の1/10の2,500人、陰性者は前と同じ250万人、全人口は250万2500人とします。感染者は、1,750人が陽性、750人が陰性、非感染者は、2,500人が陽性、249万7500人が陰性です。で、検査が陽性だった時に感染している確率は、1,750 / (1,750 + 2,500)で約40%。こうなると陽性だから感染しているとはいえませんね。無症状者にスクリーニングといっても半分以上が非感染者、と。
こうなるとPCR検査結果だけで感染を判断するのは無茶です。やはり感染状況によって検査の有効性は大きく変わるということです。過去の感染状況を思い起こすと、ほとんどの期間はPCR検査の結果だけで感染を判断するのは無理で、医師の診断をもって感染を判断するとしていたのは、別に医師会が自分かわいさに横車を押したということではなく、確率的な妥当性はあったということです。
なんか積み木を一個一個積み重ねるように結論に辿り着きましたが、ここら辺を定式化して一発でというのが、ベイズの定理です。式としては、
☆[事後確率 = (事前確率×データの尤度)÷周辺確率]
です。PCRの最初の計算をこれに当てはめると、
この5章で取り上げられているベイズの定理の内容はこんな感じですが、この章ではこの後、誤解の基となる基準率無視や代表性ヒューリスティックの話に進んでいきます。ここから先は本を読んでください。
(2023年 2月25日 記)